Im,n | = | ∫ sinm cos n x dx |
= | ∫ sinm – 1 x cosn x sin x dx | |
= | sinm – 1 x cosn x (– cos x) – ∫ [sinm – 1 x n cosn – 1 x (– sin x) – cosn x (m – 1) sin m – 2 x cos x] (– cos x)dx | |
= | – sinm – 1 x cosn + 1 x – n ∫ sinm x cosn x dx + (m – 1) ∫ sinm – 2 x cosn x cos2 x dx | |
= | – sinm – 1 x cosn + 1 x – n Im, n + (m – 1) ∫ sinm – 2 x cosn x (1 – sin2 x) dx | |
= | – sinm – 1 x cosn + 1 x – n Im, n + (m – 1) ∫ sinm – 2 x cosn x dx – (m – 1) ∫ sinm x cosn x dx | |
= | – sinm – 1 x cosn + 1 x – n Im, n + (m – 1) Im – 2, n – (m – 1)Im, n | |
⇒ (m + n)Im,n | = | – sinm – 1 x cosn + 1 x + (m – 1) Im – 2,n |
⇒ Im,n | = |